文章精華:

  1. 信心水準
  2. 白努利試驗
  3. 「卜瓦松(Poisson Distribution)」分佈
  4. 大數法則

想像一下,房間的桌上有一個很大的罐子,裡面有2,000顆黑色石頭與3,000顆白色石頭。現在,如果要從裡面取出白色石頭,算一下機率是3,000/5,000=0.6,大概是取出十顆會有六顆是白色石頭。但是,假設我們不知道罐子裡的石頭比例,這時候,我們應該要抽多少顆石頭,才能有「信心」地推論出「接近」背後真正的機率。

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作者:蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)、羅凱揚(台科大企管系博士)

圖1 《猜度術》(Ars conjectandi)

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小時候您一定玩過迷宮,但您看過「電子鼠」走迷宮比賽嗎?就是設計一隻電子鼠,看誰最快走出迷宮。電子鼠從入口前進,遇到岔路時,便任選一條路走,再遇到岔路時,一樣任選一條路走,如此繼續走下去,直到走到沒有路時。這時候,電子鼠會自動退回上一個岔路,然後走沒有走過的路,並且繼續走下去。當走到沒有路時,再退回上一個岔路,如果該岔路後的路徑都走過,便再退回上一個岔路。如此反覆測試,或是退回原點,一直到走出迷宮。而電子鼠這種方法返家路稱為「回溯法」(Back Tracking)。

現在不少中小學生都會組隊參加電子鼠的迷宮大賽,而拆解「回溯法」的步驟,其實就是:

1.將找路的問題轉換成「狀態空間樹(State Space Tree)」

透過樹狀結構,列舉出所有可能的答案。例如,迷宮裡每一個岔路就是不同的節點。每一條從樹根節點到葉子節點的路徑,就是一項可能的答案,這個樹狀結構就稱為「狀態空間樹(State Space Tree)」,如圖1所示。

圖1 狀態空間樹

2. 狀態空間樹裡的每一條路徑,都代表一種可能的解方。

3. 透過「深度優先搜尋(Depth-First-Search,DFS)」的方式對狀態空間樹進行搜尋。

深度優先搜尋是深入一個節點後,單刀直入,深入下一個節點。所以搜尋順序為A、B、D、H、I、E、J、K……。

不知道各位從以上的步驟,有沒有發現「回溯法」在資料科學上最常見的應用,就類似網路搜尋或爬蟲。在這裡,請想像一下,圖1中的狀態空間樹就是網際網路,每個節點就是不同的網頁,而「爬蟲」就是透過回溯法進行搜尋。

最後,從電子鼠走迷宮的範例中可以發現,回溯法主要是採取「嘗試錯誤(Trial and Error)」的方法來找到答案,而電子鼠除了在試誤之外,比的還有鼠隻的活動能力,看誰的速度快,像是在迷宮中前進後退或者轉彎。而這一點在問題的本質上與「窮舉法」是相同的,而這也凸顯「嘗試錯誤」在解決日常生活問題中的意義與重要性。

事實上,為了解決問題,我們不但不應該擔心「犯錯」,有時候甚至要大膽「試錯」,重要的是要做好風險管理。畢竟許多問題的解答,一開始根本沒有線索可以協助判斷。就好像一開始走迷宮時,應該向左走還是向右走,可能不易選擇,但不管如何,先選擇一條路出發就對了,接著再以「試錯」速度來取勝,這也算是一個不錯的方法。

作者:羅凱揚(台科大企管系博士)、蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)

繪圖者:彭煖蘋

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您是否曾經有過類似的經驗。搭公車時,公車往往久候不至,或是公車出現時,卻是一輛接著一輛。其實公車發車時間有其固定的間隔,而且尖峰的時候,間隔甚至還密集一點;離峰的時候,間隔寬鬆一點。但又是什麼樣的原因,最後造成了間隔不一的結果? 想像一下,有六部公車負責行駛一條市區環狀快線,依照規定,每隔五分鐘要發出一班車。在公車總站,每班車發車的時間間隔應該都相同(因為有站長盯著看,司機想要提早開或者晚一點開,其實都辦不到)。第一輛出發的車子,已經先把一部分的人載走,後出發的第二輛車子,在每一站停留的時間就少一些。幾站下來,可能就會追上前面的公車,而第三輛也可能會追上第二輛車。 後車之所以會追上前車的情境,其實也不難理解,因為上前車的人一多,乘客花在刷卡的時間上也多,司機看到乘客蜂湧而上,起步速度和每站停留時間也一定比後車要長。 實務上,要解決這樣的問題其實很簡單,只要公車司機能被允許,看到前面公車正在停車載客時,能不必理會乘客是否都能上了前車。總之,就乾脆超車過去載下一站的乘客就對了。如此一來,這樣載客的效率就會大幅提升,也減少了乘客久候公車不來,或是一次來好幾輛的問題。但是,這樣也可能會衍生出另一個問題,因為還在排隊的乘客,看到後面一輛有空位的公車,竟然過站不停,進而遭到市民投訴。

公車為何老是誤點? — 檢查悖論(Inspection paradox)
公車為何老是誤點? — 檢查悖論(Inspection paradox)

您是否曾經有過類似的經驗。搭公車時,公車往往久候不至,或是公車出現時,卻是一輛接著一輛。其實公車發車時間有其固定的間隔,而且尖峰的時候,間隔甚至還密集一點;離峰的時候,間隔寬鬆一點。但又是什麼樣的原因,最後造成了間隔不一的結果?

想像一下,有六部公車負責行駛一條市區環狀快線,依照規定,每隔五分鐘要發出一班車。在公車總站,每班車發車的時間間隔應該都相同(因為有站長盯著看,司機想要提早開或者晚一點開,其實都辦不到)。第一輛出發的車子,已經先把一部分的人載走,後出發的第二輛車子,在每一站停留的時間就少一些。幾站下來,可能就會追上前面的公車,而第三輛也可能會追上第二輛車。

後車之所以會追上前車的情境,其實也不難理解,因為上前車的人一多,乘客花在刷卡的時間上也多,司機看到乘客蜂湧而上,起步速度和每站停留時間也一定比後車要長。

實務上,要解決這樣的問題其實很簡單,只要公車司機能被允許,看到前面公車正在停車載客時,能不必理會乘客是否都能上了前車。總之,就乾脆超車過去載下一站的乘客就對了。如此一來,這樣載客的效率就會大幅提升,也減少了乘客久候公車不來,或是一次來好幾輛的問題。但是,這樣也可能會衍生出另一個問題,因為還在排隊的乘客,看到後面一輛有空位的公車,竟然過站不停,進而遭到市民投訴。

至於公車為何老是誤點?這個問題背後還牽涉到一個有趣的概念,這個概念稱為「檢查悖論」(Inspection paradox)。

美國電腦科學家艾倫•唐尼(Allen Downey)教授曾經舉了一個普渡大學的真實案例,來說明何謂「檢查悖論」。假設您問大學生,學校的班級平均一班有多少人,結果答案可能是90人。但事實上,學校的平均班級人數可能是35人。這背後的原因,在於當您在對學生進行調查時,您會對大班級進行了過度抽樣。也就是說,抽到大班級學生的機率會大於小班級學生的機率(因為大班級的學生較多)。這時,學生們講出來的班級人數,就很容易多於實際的平均人數。

將這個概念應用到等公車。假設公車的班表是每隔10分鐘發出一班。一般人的想法會認為,等候公車的平均時間應該是5分鐘,然而,結果常常不是如此。有時,等候時間超過5分鐘,甚至有時候還超過15、20分鐘以上。這到底是什麼原因?

我們先用一張圖來說明,如圖1所示。

圖1公車為何老是誤點?

從圖1中可發現,雖然公車發車時間間隔為10分鐘,但是如前面所述,公車到站的時間間隔的確有長有短。這個時候,您抵達公車站的時間點,落在長間隔的機率,往往就會大於落在短間隔的機率。如此一來,自然就會等上15、20分鐘。

不過,現在因為大家都有智慧型手機和GPS、GIS的幫忙,等公車的問題已經大幅減少。就像我們有位同事,每次搭末班車回家前,都會盯著手機看著要搭的公車已經到了哪一站,然後準時衝到站牌前精準上車,很少錯過回家的公車。

資料來源: https://towardsdatascience.com/the-inspection-paradox-is-everywhere-2ef1c2e9d709

作者:蘇宇暉(台科大管研所博士候選人)、羅凱揚(台科大企管系博士)

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有一句話說「計畫永遠趕不上變化」,日常生活中,這種事情似乎隨時可能發生。如果在做行銷資料科學專案時,跑出來的分析結果,與預期的大不同,這時候,該怎麼辦?

一位從事行銷資料科學分析的學員跑來問我們,他們想透過消費者對A、B產品在論壇上所討論的內容,進行輿情分析,並進一步對這些消費者進行分群。接著,再了解消費者購買A、B產品的動機與目的,以及會受到何種干擾因素所影響、同時他們究竟在意產品的哪些功能,甚至是關於產品的品牌競爭狀況。

透過輿情分析,該學員的行銷資料科學團隊順利將A產品的消費者進行分群,並且在比較各種演算法的結果,以及與產品經理確認後,找出某種最適合的分群方式,並將消費者分成三群。

但透過同樣的程序,該團隊針對B產品進行輿情分析,卻無法跑出最適合的結果,因為無論用哪一種演算法,電腦跑出來的結果,卻都只有一群。而這一點與產品經理的認知大相逕庭,因為只有一群似乎明顯不合理,這名產品經理認為至少可以將消費者分成兩到三群,難道這時只能徒呼負負,接下該怎麼處理呢?

還記得在念研究方法時,曾經聽過的一個故事。當一名研究者透過嚴謹的研究,發現了一個以前沒有人發現過的創見,感到自己實在太棒了,而這樣的研究成果再發展下去,甚至感覺自己有可能會獲得諾貝爾獎(這當然是開玩笑的)。一旦研究結果,好的不像真的,這個時,下一步該怎麼做?答案有兩點:

首先,這個「好的不像真的」的研究結果,九成九是因為研究過程有錯,畢竟諾貝爾獎不是那麼好到手。此時一定要想到,在研究的過程中,常常會遇到「垃圾進、垃圾出」的情況。只要研究中一個環節不嚴謹或稍有閃失,出了一點點小錯誤,縱使接下來的每個程序都做對,結果還是錯的。

回到分析團隊的案例,分別對A、B產品兩個市場進行輿情分析,A產品跑的出來,B產品跑不出來。這時候,請再對B產品的程序做一次完整的檢視,確認是否有某個環節出了問題。

如果對B產品重新跑過一次,結果還是一樣。這個時候建議向上回溯一步,回過頭來檢視A產品的流程,確認A產品與B產品的分析流程,有足夠的嚴謹度。此時,如果是規模較大的企業,往往會請另外一個團隊再分析一次,以進行比較。

假設重新檢視A、B產品的分析流程之後,甚至請其他團隊也做了一次分析,並獲得相同結果,確定流程沒有問題。這時,就要對整個研究程序背後的干擾因素進行探究。例如,研究架構背後,有沒有其他沒有考慮到的變數?研究程序中,是否還有被忽略掉的環節?或者研究發現中,是否真的與實務狀況不符?亦或者產品經理真的懂這個市場嗎?畢竟許多專家的想法,已經漸漸脫離市場……等。

如果以上的問題,都一一被確認,最終發現,分析出來的結果真的是創見。那恭喜您,因為您正透過行銷資料科學,獲得了更大的市場價值(雖然不會得諾貝爾獎,而諾貝爾也還沒有創立行銷獎)。

圖1 分析結果與預期出現重大差異

本文要凸顯的,是研究過程中的嚴謹性。當我們以為發現創見時,九成九是研究過程中有問題,而非真正獲得創見。而該名學員最後也依照建議,找出研究程序中的瑕疵,成功將A、B產品的消費者加以分群。

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